二进制:不了解计算机的源头,你学什么编程

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你好,我是悦创。

我们都知道,计算机的起源是数学中的二进制计数法。可以说,没有二进制,就没有如今的计算机系统。那什么是二进制呢?为什么计算机要使用二进制,而不是我们日常生活中的十进制呢?如何在代码中操作二进制呢?专栏开始,我们就从计算机认知的起源——二进制出发,讲讲它在计算机中的“玄机”。

1. 什么是二进制计数法?

为了让你更好地理解二进制计数法,我们先来简单地回顾一下人类计数的发展史。

原始时代,人类用路边的小石子,来统计放牧归来的羊只数量,这表明我们很早就产生了计数的意识。后来,罗马人用手指作为计数的工具,并在羊皮上画出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ来代替手指的数量。表示一只手时,就写成“Ⅴ”形,表示两只手时,就画成“ⅤⅤ”形等等。

公元 3 世纪左右,印度数学家(也有说法是阿拉伯人)发明了阿拉伯数字。阿拉伯数字由从 0 到 9 这样 10 个计数符号组成,并采取进位制法,高位在左,低位在右,从左往右书写。由于阿拉伯数字本身笔画简单,演算便利,因此它们逐渐在各国流行起来,成为世界通用的数字。

日常生活中,我们广泛使用的十进制计数法,也是基于阿拉伯数字的。这也是十进制计数法的基础。因此,相对其他计数方法,十进制最容易被我们所理解。

让我们来观察一个数字:2871。

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其中 ^ 表示幂或次方运算。十进制的数位(千位、百位、十位等)全部都是 10^n 的形式。需要特别注意的是,任何非 0 数字的 0 次方均为 1。在这个新的表示式里,10 被称为十进制计数法的基数,也是十进制中“十”的由来。这个我想你应该好理解,因为这和我们日常生活的习惯是统一的。

明白了十进制,我们再试着用类似的思路来理解二进制的定义。我以二进制数字 110101 为例,解释给你听。我们先来看,这里 110101 究竟代表了十进制中的数字几呢?

刚才我们说了,十进制计数是使用 10 作为基数,那么二进制就是使用 2 作为基数,类比过来,二进制的数位就是 2^n 的形式。如果需要将这个数字转化为人们易于理解的十进制,我们就可以这样来计算:

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按照这个思路,我们还可以推导出八进制(以 8 为基数)、十六进制(以 16 为基数)等等计数法,很简单,我在这里就不赘述了。

至此,你应该已经理解了什么是二进制。但是仅有数学的理论知识是不够的,结合相关的代码实践,相信你会有更深刻的印象。

基于此,我们来看看二进制和十进制数在 Java 语言中是如何互相转换的,并验证一下我们之前的推算。我这里使用的是 Java 语言来实现的,其他主流的编程语言实现方式都是类似的。

这段代码的实现采用了 Java 的 BigInteger 类及其 API 函数,我都加了代码注释,并且穿插一些解释,你应该可以看懂。

首先,我们引入 BigInteger 包,通过它和 Integer 类的 API 函数进行二进制和十进制的互相转换。

import java.math.BigInteger;

public class Lesson1_1 {
  
   /**

    * @Description: 十进制转换成二进制
    * @param decimalSource
    * @return String
    */
    public static String decimalToBinary(int decimalSource) {
       BigInteger bi = new BigInteger(String.valueOf(decimalSource)); //转换成BigInteger类型,默认是十进制
       return bi.toString(2); //参数2指定的是转化成二进制
    }

    /**
    * @Description: 二进制转换成十进制
    * @param binarySource
    * @return int
    */
    public static int binaryToDecimal(String binarySource) {
       BigInteger bi = new BigInteger(binarySource, 2);  //转换为BigInteger类型,参数2指定的是二进制
       return Integer.parseInt(bi.toString());     //默认转换成十进制
    }
}

然后,我们通过一个十进制数和一个二进制数,来验证一下上述代码的正确性。

public static void main(String[] args) {     

      int a = 53;
      String b = "110101";
      System.out.println(String.format("数字%d的二进制是%s", a, Lesson1_1.decimalToBinary(a))); //获取十进制数53的二进制数
      System.out.println(String.format("数字%s的十进制是%d", b, Lesson1_1.binaryToDecimal(b))); //获取二进制数110101的十进制数

   }

这段代码运行的结果是:十进制数字 53 的二进制是 110101,二进制数字 110101 的十进制是 53。

好了,关于十进制和二进制的概念以及进制之间的相互转换,你应该都很清楚了。既然有十进制,又有二进制,你可能就要问了,为啥计算机使用的是二进制而不是十进制呢?

2. 计算机为什么使用二进制?

我觉得,计算机使用二进制和现代计算机系统的硬件实现有关。组成计算机系统的逻辑电路通常只有两个状态,即开关的接通与断开。

断开的状态我们用 “0” 来表示,接通的状态用 “1” 来表示。由于每位数据只有断开与接通两种状态,所以即便系统受到一定程度的干扰时,它仍然能够可靠地分辨出数字是 “0” 还是 “1” 。因此,在具体的系统实现中,二进制的数据表达具有抗干扰能力强、可靠性高的优点。

相比之下,如果用十进制设计具有 10 种状态的电路,情况就会非常复杂,判断状态的时候出错的几率就会大大提高。

另外,二进制也非常适合逻辑运算。逻辑运算中的 “真” 和 “假” ,正好与二进制的 “0” 和 “1” 两个数字相对应。逻辑运算中的加法(“或”运算)、乘法(“与”运算)以及否定(“非”运算)都可以通过 “0” 和 “1” 的加法、乘法和减法来实现。

3. 二进制的位操作

了解了现代计算机是基于二进制的,我们就来看看,计算机语言中针对二进制的位操作。这里的位操作,也叫作位运算,就是直接对内存中的二进制位进行操作。常见的二进制位操作包括向左移位和向右移位的移位操作,以及“或”“与”“异或”的逻辑操作。下面我们一一来看。

1. 向左移位

我们先来看向左移位。

二进制 110101 向左移一位,就是在末尾添加一位 0,因此 110101 就变成了 1101010。请注意,这里讨论的是数字没有溢出的情况。

所谓数字溢出,就是二进制数的位数超过了系统所指定的位数。目前主流的系统都支持至少 32 位的整型数字,而 1101010 远未超过 32 位,所以不会溢出。如果进行左移操作的二进制已经超出了 32 位,左移后数字就会溢出,需要将溢出的位数去除。

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在这个例子中,如果将 1101010 换算为十进制,就是 106,你有没有发现,106 正好是 53 的 2 倍。所以,我们可以得出一个结论:二进制左移一位,其实就是将数字翻倍。

把二进制数进行展开,左移动一位,意味着分解的系数都增加了一位,相对于原来的二进制展开,全部乘2,也就是最终结果也乘2

2. 向右移位

接下来我们来看向右移位。

二进制 110101 向右移一位,就是去除末尾的那一位,因此 110101 就变成了 11010(最前面的 0 可以省略)。我们将 11010 换算为十进制,就是 26,正好是 53 除以 2 的整数商。所以二进制右移一位,就是将数字除以 2 并求整数商的操作。

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下面我们来看看,用代码如何进行移位操作。

import java.math.BigInteger;

public class Lesson1_2 {  

   /**
    * @Description: 向左移位
    * @param num-等待移位的十进制数, m-向左移的位数
    * @return int-移位后的十进制数
    */
   public static int leftShift(int num, int m) {
      return num << m;
   }
  
   /**
    * @Description: 向右移位
    * @param num-等待移位的十进制数, m-向右移的位数
    * @return int-移位后的十进制数
    */
   public static int rightShift(int num, int m) {
      return num >>> m;
   } 
 
}

然后,我们用一段测试代码验证下结果。

public static void main(String[] args) {     

      int num = 53;
      int m = 1;
      System.out.println(String.format("数字%d的二进制向左移%d位是%d", num, m, Lesson1_2.leftShift(num, m)));   //测试向左移位
      System.out.println(String.format("数字%d的二进制向右移%d位是%d", num, m, Lesson1_2.rightShift(num, m)));   //测试向右移位     

      System.out.println();
     
      m = 3;
      System.out.println(String.format("数字%d的二进制向左移%d位是%d", num, m, Lesson1_2.leftShift(num, m)));   //测试向左移位
      System.out.println(String.format("数字%d的二进制向右移%d位是%d", num, m, Lesson1_2.rightShift(num, m)));   //测试向右移位 

   } 

这段代码的运行结果是:数字 53 向左移 1 位是 106;数字 53 向右移 1 位是 26。数字 53 向左移 3 位是 424,数字 53 向右移 3 位是 6。

我来解释一下。其中,移位 1 次相当于乘以或除以 2,而移位 3 次就相当于乘以或除以 8(即 2 的 3 次方)。细心的话,你可能已经发现,Java 中的左移位和右移位的表示是不太一样的。

左移位是 <<,那右移位为什么是 >>> 而不是 >> 呢?

实际上,>> 也是右移操作。简单来说,之所以有这两种表达方式,根本原因是 Java 的二进制数值中最高一位是符号位。这里我给你详细解释一下。

当符号位为 0 时,表示该数值为正数;当符号位为 1 时,表示该数值为负数。我们以 32 位 Java 为例,数字 53 的二进制为 110101,从右往左数的第 32 位是 0,表示该数是正数,只是通常我们都将其省略。

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如果数字是 -53 呢?那么第 32 位就不是 0,而是 1。请注意我这里列出的是补码。

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那么这个时候向右移位,就会产生一个问题:对于符号位(特别是符号位为 1 的时候),我们是否也需要将其右移呢?因此,Java 里定义了两种右移,逻辑右移算术右移。逻辑右移 1 位,左边补 0 即可。

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算术右移时保持符号位不变,除符号位之外的右移一位并补符号位 1。补的 1 仍然在符号位之后。

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逻辑右移在 Java 和 Python 语言中使用 >>> 表示,而算术右移使用 >> 表示。如果你有兴趣,可以自己编码尝试一下,看看这两种操作符输出的结果有何不同。

在 C 或 C++ 语言中,逻辑右移和算数右移共享同一个运算符 >>。那么,编译器是如何决定使用逻辑右移还是算数右移呢?答案是,取决于运算数的类型。如果运算数类型是 unsigned,则采用逻辑右移;而是 signed,则采用算数右移。如果你针对 unsigned 类型的数据使用算数右移,或者针对 signed 类型的数据使用逻辑右移,那么你首先需要进行类型的转换。

由于左移位无需考虑高位补 1 还是补 0(符号位可能为 1 或 0),所以不需要区分逻辑左移和算术左移。

3. 位的“或”

我们刚才说了,二进制的“1”和“0”分别对应逻辑中的“真”和“假”,因此可以针对位进行逻辑操作。

逻辑“或”的意思是,参与操作的位中只要有一个位是 1,那么最终结果就是 1,也就是“真”。如果我们将二进制 110101 和 100011 的每一位对齐,进行按位的“或”操作,就会得到 110111。

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4. 位的“与”

同理,我们也可以针对位进行逻辑“与”的操作。“与”的意思是,参与操作的位中必须全都是 1,那么最终结果才是 1(真),否则就为 0(假)。如果我们将二进制 110101 和 100011 的每一位对齐,进行按位的“与”操作,就会得到 100001。

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5. 位的“异或”

逻辑“异或”和“或”有所不同,它具有排异性,也就是说如果参与操作的位相同,那么最终结果就为 0(假),否则为 1(真)。所以,如果要得到 1,参与操作的两个位必须不同,这就是此处“异”的含义。我们将二进制 110101 和 100011 的每一位对齐,进行按位的“异或”操作,可以得到结果是 10110。

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我总结一下,“异或”操作的本质其实就是,所有数值和自身进行按位的“异或”操作之后都为 0。而且要通过“异或”操作得到 0,也必须通过两个相同的数值进行按位“异或”。这表明了两个数值按位“异或”结果为 0,是这两个数值相等的必要充分条件,可以作为判断两个变量是否相等的条件。

接下来,我们来学习一下,在代码中如何实现二进制的逻辑操作。Java 中使用|表示按位的“或”,& 表示按位“与”,^ 表示按位“异或”。

import java.math.BigInteger;

public class Lesson1_3 {  

   /**
    * @Description: 二进制按位“或”的操作
    * @param num1-第一个数字,num2-第二个数字
    * @return 二进制按位“或”的结果
    */
   public static int or(int num1, int num2) {
        
      return (num1 | num2);
     
   }  

   /**
    * @Description: 二进制按位“与”的操作
    * @param num1-第一个数字,num2-第二个数字
    * @return 二进制按位“与”的结果
    */
   public static int and(int num1, int num2) {     
   
      return (num1 & num2);
     
   } 

   /**

    * @Description: 二进制按位“异或”的操作
    * @param num1-第一个数字,num2-第二个数字
    * @return 二进制按位“异或”的结果
    */

   public static int xor(int num1, int num2) {     

      return (num1 ^ num2);
     
   }  


}

同样,我们写一段测试代码,验证一下上面三个函数。

public static void main(String[] args) {

      int a = 53;
      int b = 35;

      System.out.println(String.format("数字%d(%s)和数字%d(%s)的按位‘或’结果是%d(%s)",
            a, decimalToBinary(a), b, decimalToBinary(b), Lesson2_3.or(a, b), decimalToBinary(Lesson1_3.or(a, b)))); //获取十进制数53和35的按位“或”     

      System.out.println(String.format("数字%d(%s)和数字%d(%s)的按位‘与’结果是%d(%s)",
            a, decimalToBinary(a), b, decimalToBinary(b), Lesson2_3.and(a, b), decimalToBinary(Lesson1_3.and(a, b))));  //获取十进制数53和35的按位“与”     

      System.out.println(String.format("数字%d(%s)和数字%d(%s)的按位‘异或’结果是%d(%s)",
            a, decimalToBinary(a), a, decimalToBinary(a), Lesson2_3.xor(a, a), decimalToBinary(Lesson1_3.xor(a, a))));  //获取十进制数53和35的按位“异或”     

   } 

这段代码的运行结果是:数字 53(110101) 和数字 35(100011) 的按位‘或’结果是 55(110111),数字 53(110101) 和数字 35(100011) 的按位‘与’结果是 33(100001),数字 53(110101) 和数字 53(110101) 的按位‘异或’结果是 0(0)。

4. 小结

今天我们聊了二进制,你可能会问:学习二进制究竟有什么用呢?平时的编程中,我们好像并没有使用相关的知识啊?确实,目前的高级语言可以帮助我们将人类的思维逻辑转换为使用 0 和 1 的机器语言,我们不用再为此操心了。但是,二进制作为现代计算机体系的基石,这些基础的概念和操作,你一定要非常了解。

二进制贯穿在很多常用的概念和思想中,例如逻辑判断、二分法、二叉树等等。逻辑判断中的真假值就是用二进制的 1 和 0 来表示的;二分法和二叉树都是把要处理的问题一分为二,正好也可以通过二进制的 1 和 0 来表示。因此,理解了二进制,你就能更加容易地理解很多计算机的数据结构和算法,也为我们后面的学习打下基础。

思考题

如果不使用 Java 语言自带的 BigInteger 类,我们还有什么方法来实现十进制到二进制的转换呢?(提示:可以使用二进制的移位和按位逻辑操作来实现。)

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