负数取余问题

AI悦创原创2022年6月11日
大约 3 分钟

前言:

你好,我是悦创。

对于两个相同符号的数取余大家都很熟悉,但是对于一正一负的数取余呢?

大家可能觉得会很陌生,今天在刷 leetcode7:整数反转(easy)这道题的时候,想起了这个知识点,遂打算探讨一番。

自然数取余定义分为两种:

  1. 定义1:如果 a 和 d 是两个自然数,d 非零,可以证明存在两个唯一的整数 q 和 r,满足 a=qd+r0 ≤ r < d(其中 q 为商,r 为余数)。
  2. 定义1一般作为数学中的取余法则,即两个数取余,余数总是为正数。

举例:

  • 5%3=3x1+2,商为1,余数为 2
  • (-5)%(-3)=(-3)x2+1,商为 2,余数为 1
  • 5%(-3)=(-3)x(-1)+2,商为 -1,余数为 2
  • (-5)%3=3x(-2)+1,商为 -2,余数为 1
  1. 定义2:如果 a 与 d 是整数,d 非零,那么余数 r 满足这样的关系:a = qd + r , q 为整数,且 0 ≤ |r| < |d| 。定义 2 取余的结果就会导致出现两个余数了,比如 5%(-3) = (-3)x(-1)+2 = (-3)x(-2)-1 ,所以这里的余数 2 和 -1 都满足定义。
  2. 我们把 2 称为正余数,-1 成为负余数。通常,当除以 d 时,如果正余数为 r1,负余数为 r2,那么有 r1 = r2 + d
  3. 所有语言和计算器都遵循了尽量让商尽量靠近 0 的原则,即 5%(-3) 的结果为 2 而不是 -1,(-5)%3 的结果是 -2 而不是 1。

测试代码如下:

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    cout<<(5%3)<<endl;		//5=3x1+2
    cout<<(-5%-3)<<endl;	//-5=-3x1-2
    cout<<(5%-3)<<endl;		//5=-3x(-1)+2
    cout<<(-5%3)<<endl;		//-5=3x(-1)-2
    system("pause");
    return 0;
}

通俗地解释编译器的运行结果:

  • (-5%-3) 编译器先将 -3 自动转换为正整数 3,然后计算 -(5%3) 的结果,所以运算结果为 -2。
  • (5%-3) 编译器先将 -3 自动转换为正整数 3,然后计算 (5%3) 的结果,所以运算结果为 2。
  • (-5%3) 编译器直接计算 -(5%3) 的结果,所以运算结果为 -2。

测试结果如下:

在这里插入图片描述

总结:

  1. 不管是两个同号数取余还是两个异号数取余,取余结果是正整数才是我们生活中普遍认可的结果。
  2. 在编译器中,两个异号的数取余之后的结果取决于分子的符号。负数%负数,编译器会将分母的负数自动转换为正整数,然后再将分子负数的负号提取出来,将两个正整数取余,最后的结果加上负号就好了。负数%正数,编译器先将分子负数的负号提取出来,将两个正整数取余,最后结果加上负号即可。正数%负数,编译器自动将分母负数转换为正整数,然后两个正整数取余得到就是最终结果。

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