数学题目

Question 1

A7.7 (6 Punkte) Finden Sie den Abstand zwischen den Teilmengen

$$E_1 = \{x \in \mathbb{R}^2 \mid x_1^2 + 4x_2^2 = 4\} \space und \space E_2 = \{x \in \mathbb{R}^2 \mid x_1 + 2\sqrt{3}x_2 = 8\}$$

in $\mathbb{R}^2$​ mit der euklidischen Metrik.

要找到两个集合 $E_1$ 和 $E_2$ 在 $\mathbb{R}^2$ 中的最小距离，我会用下面的步骤：

1. 集合定义：

   $E_1$ 是一个椭圆，定义为：$E_1 = \{x \in \mathbb{R}^2 \mid x_1^2 + 4x_2^2 = 4\}$

   $E_2$ 是一条直线，定义为：

   $E_2 = \{x \in \mathbb{R}^2 \mid x_1 + 2\sqrt{3}x_2 = 8\}$

2. 将椭圆参数化：

   椭圆 $E_1$ 可以参数化为：

   $x_1 = 2 \cos(t), \quad x_2 = \sin(t) \quad \text{für } t \in [0, 2\pi]$

3. 距离公式：

   任意点 $x = (x_1, x_2)$ 在椭圆 $E_1$ 上和任意点 $y = (y_1, y_2)$ 在直线 $E_2$ 上之间的欧几里得距离为：

   $d(x, y) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2}$

4. 求直线到椭圆上的点的距离：

   任意点 $y$ 在直线 $E_2$ 上的形式可以写为 $y_1 + 2\sqrt{3}y_2 = 8$。

   为了最小化距离，可以将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。假设 $y = (y_1, y_2)$，并且用直线的方程来解出 $y_1$ 和 $y_2$。

5. 距离最小化：

   现在需要最小化距离函数 $d(x, y)$ ，即：

   $d((2 \cos(t), \sin(t)), (y_1, y_2))$

   由于 $y_1 = 8 - 2\sqrt{3} y_2$，可以将其代入距离公式中：

   $d((2 \cos(t), \sin(t)), (8 - 2\sqrt{3} y_2, y_2)) = \sqrt{(2 \cos(t) - (8 - 2\sqrt{3} y_2))^2 + (\sin(t) - y_2)^2}$$

6. 微分法求最小值：

   对上述函数分别对 $t$ 和 $y_2$ 求导，并找出使得导数为零的 $t$ 和 $y_2$，从而求得最小距离。

7. 计算：

   解上述最小化问题的具体计算较为复杂，通常需要利用数值方法进行计算。可以通过设定初值并使用迭代算法（如牛顿法）来找到解。

为了简化分析，可以使用以下替代方法：

8. 几何观察：

   由于椭圆中心在原点，而直线的截距为8，我们可以估算最短距离。直线到椭圆中心的垂直距离是：

$$\frac{|0 + 2\sqrt{3} \cdot 0 - 8|}{\sqrt{1 + (2\sqrt{3})^2}} = \frac{8}{\sqrt{13}}$$

这并不是最终答案，因为椭圆不是一个点。

9. 特例计算：

   由于 $E_1$ 和 $E_2$ 的复杂性，我通常借助于计算机代数系统（如 Mathematica 或 Matlab）来求解最小距离。

   也可以使用 Python 通过编程实现求解：

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize


# 定义椭圆上的点参数化方程
def ellipse_point(t):
    x1 = 2 * np.cos(t)
    x2 = np.sin(t)
    return np.array([x1, x2])


# 计算点到直线的距离
def distance_to_line(point):
    x1, x2 = point
    # 直线方程 x1 + 2*sqrt(3)*x2 = 8
    # 计算点到直线的距离公式
    distance = abs(x1 + 2 * np.sqrt(3) * x2 - 8) / np.sqrt(1 + (2 * np.sqrt(3)) ** 2)
    return distance


# 优化目标函数：给定 t 值，计算椭圆上的点到直线的距离
def objective(t):
    point = ellipse_point(t)
    return distance_to_line(point)


# 初始猜测
t_initial = 0

# 使用scipy.optimize.minimize来最小化目标函数
result = minimize(objective, t_initial, bounds=[(0, 2 * np.pi)])

# 最小化结果
t_min = result.x
min_distance = result.fun

print(min_distance, t_min)

Question 2

A8.6 (8 Punkte) Sei $c > 0$ und

$$\gamma(t) = (e^{-ct} \cos t, e^{-ct} \sin t), t \in \mathbb{R}$$

die konvergierende logarithmische Spirale. Sei $s_n$ die Bogenlänge der Einschränkung von $\gamma$ auf $[2\pi n, 2\pi (n+1)]$. Berechnen Sie das Verhältnis $\frac{s_{n+1}}{s_n}$. Konvergiert dieses Verhältnis für $n \to \infty$​?

要计算 $\gamma(t) = (e^{-ct} \cos t, e^{-ct} \sin t)$ 在区间 $[2\pi n, 2\pi (n+1)]$ 上的弧长 $s_n$，首先需要求出这条曲线的弧长公式，然后计算 $\frac{s_{n+1}}{s_n}$ 的值，并讨论其极限。

1. 计算弧长公式

   曲线的弧长公式是：

   $s = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt$

   对于给定的曲线 $\gamma(t)$：

   • $x(t) = e^{-ct} \cos t$
   • $y(t) = e^{-ct} \sin t$

   首先，我们计算 $\frac{dx}{dt}$ 和 $\frac{dy}{dt}$：

   • $\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (e^{-ct} \cos t) = -ce^{-ct} \cos t - e^{-ct} \sin t$
   • $\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (e^{-ct} \sin t) = -ce^{-ct} \sin t + e^{-ct} \cos t$

   接着计算 $\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2$：

   • $\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 = ( -ce^{-ct} \cos t - e^{-ct} \sin t )^2 = e^{-2ct} ( c^2 \cos^2 t + 2c \cos t \sin t + \sin^2 t )$

   • $\left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = ( -ce^{-ct} \sin t + e^{-ct} \cos t )^2 = e^{-2ct} ( c^2 \sin^2 t - 2c \sin t \cos t + \cos^2 t )$

   将它们相加：

   • $\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = e^{-2ct} \left( c^2 (\cos^2 t + \sin^2 t) + (\sin^2 t + \cos^2 t) \right)$

   由于 $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$，所以：

   • $\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = e^{-2ct} (c^2 + 1)$

   弧长元素为：

   • $ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt = \sqrt{e^{-2ct} (c^2 + 1)} \, dt = e^{-ct} \sqrt{c^2 + 1} \, dt$

   于是，弧长 $s_n$ 为：

   • $s_n = \int_{2\pi n}^{2\pi (n+1)} e^{-ct} \sqrt{c^2 + 1} \, dt$

2. 计算弧长 $s_n$

   • $s_n = \sqrt{c^2 + 1} \int_{2\pi n}^{2\pi (n+1)} e^{-ct} \, dt$

   积分的计算：

   • $\int_{2\pi n}^{2\pi (n+1)} e^{-ct} \, dt = \left[ \frac{e^{-ct}}{-c} \right]_{2\pi n}^{2\pi (n+1)} = \frac{1}{c} \left( e^{-2\pi c n} - e^{-2\pi c (n+1)} \right)$

   于是，

   • $s_n = \sqrt{c^2 + 1} \cdot \frac{1}{c} \left( e^{-2\pi c n} - e^{-2\pi c (n+1)} \right) = \frac{\sqrt{c^2 + 1}}{c} \left( e^{-2\pi c n} - e^{-2\pi c n} e^{-2\pi c} \right)$
   • $s_n = \frac{\sqrt{c^2 + 1}}{c} e^{-2\pi c n} (1 - e^{-2\pi c})$

3. 计算弧长比例 $\frac{s_{n+1}}{s_n}$

   • $s_{n+1} = \frac{\sqrt{c^2 + 1}}{c} e^{-2\pi c (n+1)} (1 - e^{-2\pi c}) = \frac{\sqrt{c^2 + 1}}{c} e^{-2\pi c n} e^{-2\pi c} (1 - e^{-2\pi c})$
   • $\frac{s_{n+1}}{s_n} = \frac{\frac{\sqrt{c^2 + 1}}{c} e^{-2\pi c n} e^{-2\pi c} (1 - e^{-2\pi c})}{\frac{\sqrt{c^2 + 1}}{c} e^{-2\pi c n} (1 - e^{-2\pi c})} = e^{-2\pi c}$

4. 讨论极限

   当 $n \to \infty$ 时，$\frac{s_{n+1}}{s_n}$ 不依赖于 $n$，所以：

   • $\lim_{n \to \infty} \frac{s_{n+1}}{s_n} = e^{-2\pi c}$

   这个极限是一个常数，因此弧长比例确实收敛。

5. 结论

   弧长比例 $\frac{s_{n+1}}{s_n}$ 为 $e^{-2\pi c}$，且在 $n \to \infty$ 时该比例收敛。

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