数学公式计算

Question 1

$$\lim_{x \to 0} \left( \frac{2 \tan x}{x + \sin x} \right)^{\frac{1}{1 - \cos x}}$$

要求解这个极限，我们可以使用泰勒展开来近似各个函数。首先，需要分别对 $\tan x$，$\sin x$，和 $\cos x$ 进行泰勒展开。

1. 泰勒展开:

$$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5),\\ \sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5),\\ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6).$$

2. 计算分子 $2\tan x$ 和分母 $x + \sin x$:

$$2\tan x \approx 2\left(x + \frac{x^3}{3}\right) = 2x + \frac{2x^3}{3},\\ x + \sin x \approx x + \left(x - \frac{x^3}{6}\right) = 2x - \frac{x^3}{6}.$$

3. 对分子和分母使用泰勒展开:

$$\frac{2\tan x}{x + \sin x} \approx \frac{2x + \frac{2x^3}{3}}{2x - \frac{x^3}{6}}.$$

对于非常接近 0 的 $x$，我们可以进一步近似为：

$$\frac{2x + \frac{2x^3}{3}}{2x - \frac{x^3}{6}} \approx \frac{2 + \frac{2x^2}{3}}{2 - \frac{x^2}{6}}.$$

现在我们对此进行泰勒展开简化：

$$\approx 1 + x^2 \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{12}\right) = 1 + \frac{5x^2}{12}.$$

4. 处理指数部分 $1/(1-\cos x)$:

$$1 - \cos x \approx 1 - \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}\right) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24},\\ \frac{1}{1 - \cos x} \approx \frac{1}{\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24}} = \frac{2}{x^2} \left(1 + \frac{x^2}{12}\right).$$

5. 计算整个极限:

$$\left(\frac{2\tan x}{x + \sin x}\right)^{\frac{1}{1 - \cos x}} \approx \left(1 + \frac{5x^2}{12}\right)^{\frac{2}{x^2} (1 + \frac{x^2}{12})}.\\$$

使用泰勒展开 $(1 + u)^v \approx 1 + uv$，其中 $u$ 是小的，

$$\approx \exp\left(\frac{10}{12} + \frac{10}{144}\right) = \exp\left(\frac{5}{6}\right).$$

因此，我们得到：

$$\lim_{x \to 0} \left( \frac{2 \tan x}{x + \sin x} \right)^{\frac{1}{1 - \cos x}} = e^{\frac{5}{6}}.$$

基础逻辑+基础定义+代码实现「C语言+注释」+「做些题」（有时间的情况下）
point：

• 基础概念（100%）
• 代码实现（100%）
• 注释「力求每行代码逻辑明白」

不重视：

• C 语言
• 做题

自学部分：

• 第一章（部分会讲和刷题）
• 第八章（全部会讲）（全部自学）

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