Homework 5

语言 $L \subseteq \{a, b\}^*$ 接受的字符串为：$L = \{\epsilon, b, ab, aab, aaab, \dots\} = \{a^n b \mid n \geq 0\}$ 即，L 包含所有零个或多个 $a$ 后跟一个 $b$ 的字符串，以及空 $\epsilon$ 。

根据图片中的非确定性有限自动机（NFA），一开始传入的数据是 ε（空串）。从图中可以看到，最左边的初始状态有一个箭头指向下一状态，箭头标记为 ε，表示在无需输入任何字符（即输入空串 ε）的情况下，自动机可以自由地移动到下一个状态。

因此，最开始传入的数据是 ε，即空串。

根据状态图的结构，任意数量的 $a$ 也能够被接受，因为有一条从最后一个状态通过 $\epsilon$-转移直接回到初始状态。这意味着，除了形如 ( a^n b ) 的字符串外，形如 $a^n$ （即仅包含任意数量的 $a$）的字符串也可以被接受。

因此，最终的语言 $L$ 应该包含以下形式的字符串：

1. 空串 $\epsilon$。
2. 任意数量的 $a$，即 $a^n$（n 为非负整数）。
3. 任意数量的 ( a ) 后跟一个 $b$，即 $a^n b$（n 为非负整数）。

最终答案：

语言 $L \subseteq \{a, b\}^*$ 接受的字符串为：
$L = \{ \epsilon, a, aa, aaa, \dots, b, ab, aab, aaab, \dots \} = \{ a^n b^m \mid n \geq 0, m = 0 \text{ or } 1 \}$

这意味着，$L$ 包含了任意数量的 $a$ 和至多一个 $b$ 的所有字符串。

1. 状态集合 Q：

$$Q = \{q_0, q_1, q_2\}$$

该自动机有三个状态 $q_0$, $q_1$ 和 $q_2$

2. 字符串表 $\sum$

$$\sum = \{a, b\}$$

字母表由 $a$ 和 $b$ 组成。

3. 转换函数 $\delta$: 转换函数定义如下：

$$\delta: Q \times \Sigma \cup \{\epsilon \to 2^Q\} \text{是状态的转换函数，即状态和输入符号的映射。}$$

• $\delta(q_0, a) = \{q_1, q_2\}$ （状态 $q_0$ 接受 a 后可以转移到 $q_1$ 或 $q_2$）
• $\delta(q_0, \epsilon) = \{q_2\}$ （状态 $q_0$ 接受 $\epsilon$ 空转后可以转移到 $q_2$）
• $\delta(q_1, a) = \{q_2\}$ （状态 $q_1$ 接受 $a$ 后转移到 $q_2$）
• $\delta(q_1, b) = \{q_1\}$ （状态 $q_1$ 接受 $b$ 后保持在 $q_1$））
• $\delta(q_2, a) = \{q_2\}$ （状态 $q_2$ 接受 $a$ 后保持在 $q_2$）
• $\delta(q_2, b) = \{q_2\}$ （状态 $q_2$ 接受 $b$ 后保持在 $q_2$）

4. 起始状态 $s$:

$$s = q_0$$

5. 终止状态集合 $F$：

$$F = \{q_2\}$$

终止状态为 $q_2$。

总结：

$N = (\{q_0, q_1, q_2\}, \{a, b\}, \delta, q_0, \{q_2\})$

要设计一个非确定性有限自动机（NFA），它接受语言 ( L )，其中 $L = \{ w \in \Sigma^* \mid w \text{ contains at least two } a's \text{ with exactly 6 characters between them} \}$，即字符串中至少有两个字符 'a'，且它们之间有恰好 6 个字符。

NFA 设计：

• 状态 $q_0$：初始状态，等待第一个 'a' 出现。
• 状态 $q_1$：读到了第一个 'a'，开始计数接下来出现的字符。
• 状态 $q_2, q_3, q_4, q_5, q_6, q_7$：依次表示在第一个 'a' 之后读入的第1至第6个字符，无论是 'a' 还是 'b'。
• 状态 $q_8$：当读到第6个字符后，自动机期待另一个 'a'。
• 状态 $q_f$：接受状态，表示读到第二个 'a'，且它与第一个 'a' 之间恰好有 6 个字符。

1. 状态集合 $Q$：$Q = \{q_0, q_1, q_2, q_3, q_4, q_5, q_6, q_7, q_f\}$

   • 状态：$q_0, q_1, q_2, q_3, q_4, q_5, q_6, q_7, q_f$
   • 初始状态：$q_0$
   • 接受状态：$q_f$

2. 字母表：$\sum =\{a, b\}$

   字母表包含 a 和 b。

3. 转换函数 $\delta$

   • 从 $q_0$：

     • 读到 $a$ 时，转移到 $q_1$。

     • 读到 $a$ 或 $b$ 时，保持在 $q_0$。（因为我们可以在任何位置开始新的匹配）

   • 从 $q_1$ 到 $q_6$：

     • 对于每个状态 $q_i$（$i = 1$ 到 $6$），读到任意字符 $a$ 或 $b$ 时，转移到下一个状态 $q_{i+1}$。

   • 从 $q_7$：

     • 读到 $a$ 时，转移到接受状态 $q_f$。

     • 读到 $a$ 或 $b$ 时，保持在 $q_7$。（表示等待下一个 $a$）

   • 从接受状态 $q_f$：

     • 读到任意字符 $a$ 或 $b$ 时，保持在 $q_f $。

4. 状态图示意：

   (q0) --a--> (q1) --a,b--> (q2) --a,b--> (q3) --a,b--> (q4) --a,b--> (q5) --a,b--> (q6) --a,b--> (q7) --a--> [qf]
     ^                                          |
     |------------------------------------------|
                输入 a 或 b，循环回 q0

5. 状态转移表：

$$q_0 \xrightarrow{a} q_1 \xrightarrow{a, b} q_2 \xrightarrow{a, b} q_3 \xrightarrow{a, b} q_4 \xrightarrow{a, b} q_5 \xrightarrow{a, b} q_6 \xrightarrow{a, b} q_7 \xrightarrow{a} q_f$$

1. NFA 的状态设计：

   1. 初始状态 $q_0$：从这里开始读取字符。
   2. 中间状态 $q_i$（多个状态用于处理读取的字符）：
      • 每读一个字符，继续前进。
   3. 分支状态 $q_{guess}$：非确定性地猜测当前字符是否是最后一个字符。
   4. 检查状态 $q_{check}$：一旦猜测了某个字符是最后一个字符，就需要检查它是否出现在之前的输入中。
   5. 接受状态 $q_f$：如果最后一个字符没有在之前出现过，自动机接受该字符串。
   6. 拒绝状态 $q_{rej}$：如果最后一个字符在之前出现过，则转到拒绝状态。

   $Q = \{q_0, q_1, q_2, \dots, q_{n-1}, q_{guess}, q_{check}, q_f, q_{rej}\}$

(q0) --[b,c,d]--> (q1) --[b,c,d]--> (q1)
 |                       |
[a]                     [a]
 |                       |
↓                       ↓
(q_fail)             (q_accept)

          输入 a
        +---------> (q_fail)
        |
(q0) ---|
        |
        +--- 输入 b,c,d ---> (q1)
                                 |
                                 | 输入 x ∈ {a,b,c,d}
                                 v
                           +-----------+
                           |           |
                           |  非确定性  |
                           |           |
                           +-----------+
                                 |
             +--------------------------------+
             |                                |
             v                                v
    (q_accept_x) [x 未出现过且为最后一个字符]    (q_fail)
                                              [x 已出现过]
             |                                
             | [否则]
             v                                
          (q1) [保持在 q1]

a.

(q0) --0,1--> (q1) --0,1--> (q2) --0,1--> (q3) --0,1--> (q4) --0,1--> (q5)
                               |
                               v
                            (qrej)

b.

(q0) --0--> (qrej)
  |            |
  1            0,1
  |            |
 (q1) --0,1--> (q0)

c.

(q0) --0,1--> (q1) --0,1--> (q2) --0,1--> (q3) --0,1--> (q4) --0,1--> (q5)
                               |
                               v
                            (qrej)
                               |
                            (q0_L2) --0--> (qrej_L2)
                              |            
                              1            
                              |            
                            (q1_L2) --0,1--> (q0_L2)

(a) NFA 转换为 DFA

图 (a) 的 NFA 概述：

• 状态集合：$\{1, 2\}$
• 字母表：$\{a, b\}$
• 初始状态：1
• 接受状态：1
• 转换规则：
  • 从状态 1 通过 $a$ 回到状态 1。
  • 从状态 1 通过 $b$ 转到状态 2。
  • 从状态 2 通过 $a$ 或 $b$ 回到状态 2。

子集构造法步骤：

1. 初始状态的 ε-闭包：

   • 初始状态是 (1)，因为没有 ε-转换，初始状态的 ε-闭包为 $\{1\}$。
   • 因此，DFA 的初始状态为 $\{1\}$。

2. 从状态 $\{1\}$ 的转换：

   • 对输入 $a$：从状态 1 经过 $a$ 转换回自身，即 $\delta(\{1\}, a) = \{1\}$。
   • 对输入 $b$：从状态 1 经过 $b$ 转换到状态 2，即 $\delta(\{1\}, b) = \{2\}$。

3. 从状态 $\{2\}$ 的转换：

   • 对输入 $a$：从状态 2 经过 $a$ 回到状态 2，即 $\delta(\{2\}, a) = \{2\}$。
   • 对输入 $b$：从状态 2 经过 (b) 也回到状态 2，即 $\delta(\{2\}, b) = \{2\}$。

4. 接受状态：

   • NFA 的接受状态是 $1$，因此 DFA 中包含状态 $1$ 的集合也是接受状态。
   • DFA 的接受状态为 $\{1\}$。

5. 最终的 DFA 状态转换表：

   状态	输入 $a$	输入 $b$
   $\{1\}$	$\{1\}$	$\{2\}$
   $\{2\}$	$\{2\}$	$\{2\}$

6. DFA 状态图：

(q1) --a--> (q1)
  |          |
  b          b
  v          v
(q2) <------ (q2)

• $q_1$ 是初始状态也是接受状态，$q_2$ 不是接受状态。

(b) NFA 转换为 DFA

图 (b) 的 NFA 概述：

• 状态集合：$\{1, 2, 3\}$
• 字母表：$\{a, b\}$
• 初始状态：1
• 接受状态：2
• 转换规则：
  • 从状态 1 通过 ε 转换到状态 2。
  • 从状态 1 通过 $a$ 转换到状态 3。
  • 从状态 2 通过 $a$ 转换到状态 3，并通过 ε 转换回状态 1。
  • 从状态 3 通过 $b$ 返回自身。

子集构造法步骤：

1. 初始状态的 ε-闭包：

   • 从状态 $1$ 可以通过 ε 转换到状态 $2$，因此 ε-闭包为 $\{1, 2\}$。
   • 因此，DFA 的初始状态为 $\{1, 2\}$。

2. 从状态 $\{1, 2\}$ 的转换：

   • 对输入 $a$：从状态 1 和 2 都可以通过 $a$ 转到状态 3，因此 $\delta(\{1, 2\}, a) = \{3\}$。
   • 对输入 $b$：状态 1 和 2 没有经过 $b$ 的转换，因此 $\delta(\{1, 2\}, b) = \emptyset$。

3. 从状态 $\{3\}$ 的转换：

   • 对输入 $a$：状态 3 没有经过 $a$ 的转换，因此 $\delta(\{3\}, a) = \emptyset$。
   • 对输入 $b$：状态 3 通过 $b$ 转换回自身，因此 $\delta(\{3\}, b) = \{3\}$。

4. 从状态 $\emptyset$ 的转换：

   • 从空状态 $\emptyset$ 对任意输入都没有转换，因此它会保持在 $\emptyset$ 状态。

5. 接受状态：

   • NFA 的接受状态是 $2$，因此任何包含 $2$ 的集合是 DFA 的接受状态。
   • DFA 的接受状态为 $\{1, 2\}$。

6. 最终的 DFA 状态转换表：

   状态	输入 $a$	输入 $b$
   $\{1, 2\}$	$\{3\}$	$\emptyset$
   $\{3\}$	$\emptyset$	$\{3\}$
   $\emptyset$	$\emptyset$	$\emptyset$

7. DFA 状态图：

(q0) --a--> (q3)
  |          |
  b          b
  v          v
(qrej) <--- (q3)

• $q_0$ ($\{1, 2\}$) 是初始状态也是接受状态。
• $q_3$ 是状态 3，对 $b$ 有自环。
• $q_{rej}$ 是空状态，不接受任何输入。

(a) 真。

解释：字符串 baa 可以分解为：

• 第一个 a^*：空（''）
• 第一个 b^*：b
• 第二个 a^*：aa
• 第二个 b^*：空（''）

因此，baa 属于正则表达式 a^*b^*a^*b^*。

(b) 假。

解释：a^* \cup b^* 表示只包含 a 或只包含 b 的所有字符串（包括空串）。而 (a \cup b)^* 表示由 a 和 b 构成的任意字符串（包括空串）。例如，字符串 ab 属于 (a \cup b)^*，但不属于 a^* \cup b^*。因此，两者不相等。

(c) 真 false

解释：(a^*b^*)^* 表示由零个或多个形如 a^*b^* 的字符串连接而成的字符串集。由于每个 a^*b^* 可以生成任何由 a 和 b 构成的字符串（通过选择适当数量的 a 和 b），因此 (a^*b^*)^* 等价于 (a \cup b)^*。

(d) 真。

解释：b^*a^* 和 a^*b^* 的交集只包含仅由 a 构成的字符串、仅由 b 构成的字符串和空串，即 a^* \cup b^*。因为其他字符串的字符顺序无法同时满足这两个正则表达式的要求。

(e) 假。

解释：虽然 a^*b^* 和 c^*d^* 使用了不同的字符集，但空串属于这两个正则表达式的语言。因此，它们的交集至少包含空串，不是空集。

(f) 假。

解释：(a(cd)^*b)^* 中的基本单元是以 a 开头、零个或多个 cd、以 b 结尾的字符串的重复。abcd 无法由这种结构的字符串通过连接得到，因此 abcd 不属于该正则表达式描述的语言。

(a) 正则表达式：

(b)* (a (b)*)? (a (b)*)? (a (b)*)?

解释：字符串可以包含0到3个a，每个a前后可以有任意多个b。

(b) 正则表达式：

((b)* a (b)* a (b)* a (b)*)* (b)*

解释：每组包含三个a，每个a前后可以有任意多个b，整个模式可以重复任意次（包括0次），最后可能再跟任意多个b。